问题标题:
椭圆,双曲线以及抛物线第二定理的证明就是准线是a^2/c怎么证明的,顶点到定直线的距离之比为常数E?
 更新时间:2024-03-28 23:28:57
问题描述:

椭圆,双曲线以及抛物线第二定理的证明

就是准线是a^2/c怎么证明的,顶点到定直线的距离之比为常数E?

胡东回答:
  设焦点在x轴上的椭圆:   x^2/a^2+y^2/b^2=1   B(0,b)设B到右准线的垂线段BH,根据椭圆的第二定义;|BF2|/|BH|=e=c/a   而|BF2|=a   即:   a/|BH|=c/a==>|BH|=a^2/c   右准线方程:   x=a^2/c,左准线与右准线对称,所以两准线方程为:   x=±a^2/c
胡东回答:
  说双曲线是不准确的,准确地说P的轨迹是等轴双曲线。如果A、B没有落在坐标轴上你这就是一般的双曲线方程,初等知识解决不了,需要线性代数做知识支持。你可以把问题简化,设A(-c,0),B(c,0),P(x,y),再推广至一般情况,那么问题就很容易解决了。带根号是显然的。只须平方一次即可,并不复杂。|PO|=√(x^2+y^2)|PA|=√[(x+c)^2+y^2]|PB|=√[(x-c)^2+y^2]|PO|为|PA||PB|等比中项,即|PO|^2=|PA||PB|即x^2+y^2=√{(x+c)^2(x-c)^2+y^2[(x+c)^2+(x-c)^2]+y^4},两侧同时平方,得x^4+y^4+2x^2y^2=x^4+c^4-2x^2c^2+2x^2y^2+2c^2y^2+y^4,整理得2x^2/c^2-2y^2/c^2=1,故P的轨迹为等轴双曲线,a=b=√2c/2。
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